Question

若α，β∈R，且α≠kπ+

π

2

（k∈Z），β≠kπ+

π

2

（k∈Z），則“α+β=

π

4

”是“（tanα+1）（tanβ+1）=2”的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：根據兩角和的正切公式，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．

解答：解若α+β=

π

4

，則tan（α+β）═

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=1整理得“（tanα+1）（tanβ+1）=2，即充分性成立．
若（tanα+1）（tanβ+1）=2，則1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2，
即tanα+tanβ=1-tanαtanβ，
當α≠kπ+

π

2

（k∈Z），β≠kπ+

π

2

（k∈Z），
tan（α+β）═

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=1，
則α+β=

π

4

+kπ，（k∈Z），即必要性不成立．
故“α+β=

π

4

”是“（tanα+1）（tanβ+1）=2”的充分不必要條件，
故選：A．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據兩角和的正切公式是解決本題的關鍵，比較基礎．