Question

【題目】已知函數f（x）=x3+x2+mx在x=1處有極小值，

g（x）=f（x）﹣x3﹣x2+x﹣alnx．

（1）求函數f（x）的單調區間；

（2）是否存在實數a，對任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為（﹣∞，﹣2），（1，+∞），單調減區間為（﹣2，1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由極值定義得f′（1）=6+m=0，解得m值，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規律，確定單調區間（2）先等價轉化不等式：設0＜x1＜x2，g（x1）﹣x1＜g（x2）﹣x2．再構造函數h（x）=g（x）﹣x，轉化為h（x）在（0，+∞）為增函數，利用導數研究h（x）導函數恒非負的條件，即得a的取值范圍

試題解析：解：（1）∵f（x）=x3+x2+mx，∴f′（x）=3x2+3x+m，

∵f（x）=x3+x2+mx在x=1處有極小值，∴f′（1）=6+m=0，得m=﹣6．

∴f（x）=x3+x2﹣6x，則f′（x）=3（x2+x﹣2）=3（x﹣1）（x+2）．

∴當x∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈（﹣2，1）時，f′（x）＜0，

則f（x）的單調增區間為（﹣∞，﹣2），（1，+∞），單調減區間為（﹣2，1）；

（2）g（x）=f（x）﹣x3﹣x2+x﹣alnx

=x3+x2﹣6x﹣x3﹣x2+x﹣alnx=﹣5x﹣alnx．

假設存在實數a使得對任意的 x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞1恒成立，

不妨設0＜x1＜x2，只要g（x1）﹣g（x2）＜x1﹣x2，

即：g（x1）﹣x1＜g（x2）﹣x2．

令h（x）=g（x）﹣x，只要 h（x）在（0，+∞）為增函數即可．

又函數h（x）=g（x）﹣x=，

則h′（x）==．

要使h'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，則需2x3+3x2﹣12x﹣2a≥0在（0，+∞）上恒成立，

即2a≤2x3+3x2﹣12x．

令t（x）=2x3+3x2﹣12x，則t′（x）=6x2+6x﹣12=6（x+2）（x﹣1）．

∴當x∈（0，1）時，t（x）單調遞減，當x∈（1，+∞）時，t（x）單調遞增，

則t（x）min=t（1）=﹣7．

∴2a≤﹣7，得a．

∴存在實數a，對任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞1恒成立．