Question

已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是頂角為120°的等腰三角形，則該三棱錐的外接球體積為

 

．

Answer 1

分析：幾何體是一個底面是頂角為120°且底邊長是2

3

，在等腰三角形的頂點處有一條垂直于底面的側棱，側棱長是2，建立適當的坐標系，寫出各個點的坐標和設出球心的坐標，根據各個點到球心的距離相等，點的球心的坐標，點的半徑，做出體積．

解答：解：由三視圖知，幾何體是一個底面是頂角為120°且底邊長是2

3

，底邊上的高是1，
在等腰三角形的頂點處有一條垂直于底面的側棱，側棱長是2，
以D為原點，DB為x軸，DA為y軸，建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（-1，

3

，0）
∵（x-2）²+y²+z²=x²+y²+z²，①
x²+y²+（z-2）²=x²+y²+z²，②
(x+1)2+(y-

3

)2+z2=x2+y2+z2，③
∴x=1，y=

3

，z=1，
∴球心的坐標是（1，

3

，1），
∴球的半徑是

12+( 3 )2+12

=

5

∴球的體積是

4

3

π×(

5

)3=

20 5 π

3

，
故答案為：

20 5 π

3

點評：本題考查由三視圖求幾何體的體積，考查由三視圖還原幾何體，考查三棱錐與外接球之間的關系，考查利用空間向量解決立體幾何問題．