Question

已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中主視圖、俯視圖是全等的等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球體積為

36π

．

Answer 1

分析：將三視圖還原，得它是三棱錐A-BCD，其中△ACD和△BCD是全等的等腰直角三角形，且所在平面互相垂直．由此易得三棱錐外接球心是△ACD和△BCD公共斜邊CD的中點E，得球半徑R=3，再結合球的體積公式，即可得到該三棱錐的外接球體積．

解答：解：將三視圖還原，可得它的實物如右圖的三棱錐A-BCD
其中平面ACD⊥平面BCD，△ACD≌△BCD，且它們都是等腰直角三角形
E為CD的中點，連接AE、BE，得△AEB是等腰直角三角形
由此可得：EA=EB=EC=ED=3
∴點E是三棱錐A-BCD的外接球的球心，得外接球半徑R=3
因此，得該三棱錐的外接球體積為V=

4π

3

×R³=

4π

3

×3³=36π
故答案為：36π

點評：本題將三視圖還原為實物，并且求外接球的體積，著重考查了三視圖的認識與理解和球內接多面體等知識，屬于基礎題．