Question

（2013•重慶）設雙曲線C的中心為點O，若有且只有一對相交于點O，所成的角為60°的直線A₁B₁和A₂B₂，使|A₁B₁|=|A₂B₂|，其中A₁、B₁和A₂、B₂分別是這對直線與雙曲線C的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）

• A．(

  2 3

  3

  ，2]
• B．[

  2 3

  3

  ，2)
• C．(

  2 3

  3

  ，+∞)
• D．[

  2 3

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：由雙曲線的基本性質可知，直線A₁B₁和A₂B₂，關于x軸對稱，并且直線A₁B₁和A₂B₂，與x軸的夾角為30°，雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于30°，否則不滿足題意．根據這個結論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．

解答：解：由雙曲線的基本性質對稱軸是坐標軸，這時只須考慮雙曲線的焦點在x軸的情形．
因為有且只有一對相較于點O、所成的角為60°的直線A₁B₁和A₂B₂，
所以直線A₁B₁和A₂B₂，關于x軸對稱，并且直線A₁B₁和A₂B₂，與x軸的夾角為30°，雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于30°且小于等于60°，否則不滿足題意．
可得

b

a

＞tan30°，即

b2

a2

＞

1

3

，

c2-a2

a2

＞

1

3

，所以e＞

2 3

3

．
同樣地，當

b

a

≤tan60°，即

b2

a2

≤3，所以e≤2．
所以雙曲線的離心率的范圍是(

2 3

3

，2]．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的性質及其應用，解題時要注意挖掘隱含條件．