Question

如圖，已知拋物線上橫坐標為4的點到焦點的距離為5．

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）設直線與拋物線C交于兩點，，且（a為正常數(shù)）．過弦AB的中點M作平行于x軸的直線交拋物線C于點D，連結AD、BD得到．

（i）求實數(shù)a，b，k滿足的等量關系；

（ii）的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不是定值，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）（i）（ii）為定值

【解析】

試題分析：(Ⅰ)依題意：，解得.拋物線方程為.

(Ⅱ)(i)由方程組消去得：.（※）

依題意可知：.

由已知得，.

由，得，即，整理得.

所以 .

(ii)由(i)知中點，所以點，

依題意知.

又因為方程（※）中判別式，得.

所以 ，

由（Ⅱ）可知，所以.

又為常數(shù)，故的面積為定值.

考點：本小題主要考查拋物線標準方程的求解，直線與拋物線的位置關系的判斷和應用，三角形面積公式的應用，考查學生的運算求解能力.

點評：判斷直線與拋物線的位置關系時，不要忘記驗證判別式