Question

已知函數y=sin²x+2sinxcosx+3cos²（π+x）．
（1）求該函數的最小正周期及單調遞減區間；
（2）當x∈[-

π

2

，0]時，求該函數的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）把函數解析式先利用誘導公式化簡，再根據二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，最后用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

即可求出函數的最小正周期，根據正弦函數的單調遞減區間[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]列出關于x的不等式，求出不等式的解集即為函數的遞減區間；
（2）由x的范圍，求出（1）化簡后函數解析式中角度的范圍，根據正弦函數的圖象與性質可得出函數的值域，進而得到函數的最大值及最小值．

解答：解：（1）y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=sin2x+cos2x+2
=

2

sin(2x+

π

4

)+2…（4分）
∵ω=2，
∴函數的最小正周期為T=

2π

2

=π．…（5分）
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)得 …（6分）
函數的單調減區間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

](k∈Z)…（8分）
（2）∵x∈[-

π

2

，0]，
∴-

3π

4

≤2x+

π

4

≤

π

4

，…（9分）
由（1）及三角函數的性質可知y_max=3，ymin=2-

2

．…（13分）

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，以及正弦函數的圖象與性質，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，周期公式，正弦函數的單調性，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．