Question

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A₁（-a，0），A₂（a，0）（a＞0）連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上A₁、A₂兩點(diǎn)所在所面的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線．求曲線C的方程，并討論C的形狀與m的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：設(shè)出動點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用斜率乘積求出曲線軌跡方程，然后討論 m的值，判斷曲線是圓、橢圓或雙曲線時m的值的情況．

解答：解：設(shè)動點(diǎn)為M，其坐標(biāo)（x，y）．
當(dāng)x≠±a時，由條件可得k m 1•k m2=

y

x-a

•

y

x+a

=

y2

x2-a2

=m，
即mx²-y²=ma²（x≠±a）．又A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐標(biāo)滿足mx²-y²=ma²．
故依題意，曲線C的方程為mx²-y²=ma²．
當(dāng)m＜-1時，曲線C的方程為

x2

a2

+

y2

-ma2

=1，C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；
當(dāng)m=-1時，曲線C的方程為x²+y²=a²，C是圓心在原點(diǎn)的圓；
當(dāng)-1＜m＜0時，曲線C 的方程為

x2

a2

+

y2

-ma2

=1，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
當(dāng)m＞0時，曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

ma2

=1，C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．

點(diǎn)評：本題考查曲線軌跡方程的求法，曲線與方程的關(guān)系的應(yīng)用，圓錐曲線的判斷，考查分類討論思想的應(yīng)用．