Question

平面內與兩定點A₁（-a，0），A₂（a，0）（a＞0）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上A₁、A₂兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓成雙曲線．
（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關系；
（Ⅱ）當m=-1時，對應的曲線為C₁；對給定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），對應的曲線為C₂，設F₁、F₂是C₂的兩個焦點．試問：在C₁上，是否存在點N，使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²．若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設動點為M，其坐標為（x，y），求出直線A₁、MA₂M的斜率，并且求出它們的積，即可求出點M軌跡方程，根據圓、橢圓、雙曲線的標準方程的形式，對m進行討論，確定曲線的形狀；（Ⅱ）由（I）知，當m=-1時，C₁方程為x²+y²=a²，當m∈（-1，0）∪（0，+∞）時，C₂的焦點分別為F₁（-a

1+m

，0），F₂（a

1+m

，0），假設在C₁上存在點N（x₀，y₀）（y₀≠0），使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²，的充要條件為

x02+y02=a2① 1 2 2a 1+m |y0|=|m|a2  ②

，求出點N的坐標，利用數量積和三角形面積公式可以求得tanF₁NF₂的值．

解答：解：（Ⅰ）設動點為M，其坐標為（x，y），
當x≠±a時，由條件可得kMA1•kMA2=

y

x-a

•

y

x+a

=m，
即mx²-y²=ma²（x≠±a），
又A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐標滿足mx²-y²=ma²．
當m＜-1時，曲線C的方程為

x2

a2

+

y2

-ma2

 =1，C是焦點在y軸上的橢圓；
當m=-1時，曲線C的方程為x²+y²=a²，C是圓心在原點的圓；
當-1＜m＜0時，曲線C的方程為

x2

a2

+

y2

-ma2

=1，C是焦點在x軸上的橢圓；
當m＞0時，曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

ma2

=1，C是焦點在x軸上的雙曲線；

（Ⅱ）由（I）知，當m=-1時，C₁方程為x²+y²=a²，
當m∈（-1，0）∪（0，+∞）時，C₂的焦點分別為F₁（-a

1+m

，0），F₂（a

1+m

，0），
對于給定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），C₁上存在點N（x₀，y₀）（y₀≠0），使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²，
的充要條件為

x02+y02=a2① 1 2 2a 1+m |y0|=|m|a2  ②

由①得0＜|y₀|≤a，由②得|y₀|=

|m|a

1+m

，
當0＜

|m|a

1+m

≤a，即

1- 5

2

≤m＜0，或0＜m≤

1+ 5

2

時，
存在點N，使S=|m|a²，
當

|m|a

1+m

＞a，即-1＜m＜

1- 5

2

，或m＞

1+ 5

2

時，不存在滿足條件的點N．
當m∈[

1- 5

2

，0）∪（0，

1+ 5

2

]時，由

NF1

=（-a

1+m

-x₀，-y₀），

NF2

=（a

1+m

-x₀，-y₀），
可得

NF1

•

NF2

=x₀²-（1+m）a²+y₀²=-ma²．
令|

NF1

|=r₁，|

NF2

|=r₂，∠F₁NF₂=θ，
則由

NF1

•

NF2

=r₁r₂cosθ=-ma²，可得r₁r₂=-

ma2

cosθ

，
從而s=

1

2

r₁r₂sinθ=-

ma2sinθ

2cosθ

=-

1

2

ma2tanθ，于是由S=|m|a²，
可得-

1

2

ma2tanθ=|m|a²，即tanθ=-

2|m|

m

，
綜上可得：當m∈[

1- 5

2

，0）時，在C₁上存在點N，使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²，且tanθ=2；
當m∈（0，

1+ 5

2

]時，在C₁上存在點N，使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²，且tanθ=-2；
當(-1，

1- 5

2

)∪(

1+ 5

2

，+∞)時，不存在滿足條件的點N．

點評：此題是個難題．考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎知識，同時考查推理運算的能力，以及分類與整合和數形結合的思想．其中問題（II）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．