Question

記平面內與兩定點A₁（-2，0），A₂（2，0）連線的斜率之積等于常數m（其中m＜0）的動點B的軌跡，加上A₁，A₂兩點所構成的曲線為C
（I）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m的值的關系；
（Ⅱ）當m=-

3

4

時，過點F（1，0）且斜率為k（k#0）的直線l₁交曲線C于M．N兩點，若弦MN的中點為P，過點P作直線l₂交x軸于點Q，且滿足

MN

•

PQ

=0．試求

| PQ |

| MN |

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設動點M（x，y），由條件可得mx²-y²=4m（x≠±2），對m分m＜-1，m=-1，-1＜m＜0三種情況討論即可；
（Ⅱ）設出直線l₁的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，利用韋達定理，確定|MN|、|PQ|，即可求得結論．

解答：解：（I）設動點B（x，y）．
當x≠±2時，由條件可得kBA1•kBA2=

Y

X+2

•

Y

X-2

=

Y2

X2-Y2

=m
即mx²-y²=4m（x≠±2）．
又A₁（-2，0）、A₂（2，0）的坐標滿足mx²-y²=4m．
當m＜-1時，曲線C的方程為

x2

4

+

y2

-4m

=1，曲線C是焦點在y軸上的橢圓；
當m=-1時，曲線C的方程為x²+y²=4，曲線C是圓心在原點上的圓；
當-1＜m＜0時，曲線C的方程為

x2

4

+

y2

-4m

=1，曲線C是焦點在x軸上的橢圓；
（Ⅱ）由（I）知，曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
依題意，直線l₁的方程為y=k（x-1）．
代入橢圓方程可得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
由韋達定理得：x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

∴弦MN的中點為P（

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

）
∴|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

12(k2+1)

3+4k2

直線l₂的方程為y-

-3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)
由y=0，可得x=

k2

3+4k2

，則Q（

k2

3+4k2

，0），
∴|PQ|=

3 k2(k2+1)

3+4k2

∴

|PQ|

|MN|

=

3 k2(k2+1) 3+4k2

12(k2+1) 3+4k2

=

1

4

1- 1 k2+1

∵k²+1＞1，∴0＜

1

k2+1

＜1
∴0＜

1

4

1- 1 k2+1

＜

1

4

∴

| PQ |

| MN |

的取值范圍為（0，

1

4

）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查圓錐曲線的軌跡問題，突出化歸思想、分類討論思想、方程思想的考查，綜合性強．