Question

【題目】設為實數，函數.

（1）求的極值；

（2）當在什么范圍內取值時，曲線與軸僅有一個交點？

Answer 1

【答案】（1）極大值是，極小值是.（2）

【解析】試題分析：

(1)首先求得導函數，然后列表考查函數的單調性，據此可得f(x)的極大值是f(－)＝＋a，極小值是f(1)＝a－1.

(2)由題意結合(1)中的極值的結論可得實數a的取值范圍是.

試題解析：

(1)f′(x)＝3x2－2x－1.

令f′(x)＝0，則x＝－或x＝1.

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－)	－	(－，1)	1	(1，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以f(x)的極大值是f(－)＝＋a，

極小值是f(1)＝a－1.

(2)函數f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，

由此可知，x取足夠大的正數時，

有f(x)＞0，x取足夠小的負數時，有f(x)＜0，

曲線y＝f(x)與x軸至少有一個交點．

由(1)知f(x)極大值＝f(－)＝＋a，

f(x)極小值＝f(1)＝a－1.

∵曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點，

∴f(x)極大值＜0或f(x)極小值＞0，

即＋a＜0或a－1＞0，

∴a＜－或a＞1，

∴當a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)時，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點．