Question

【題目】已知.

（1）證明在處的切線恒過定點；

（2）若有兩個極值點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先對函數求導，將代入導函數中可得切線的斜率，利用點斜式寫出切線方程化簡得，從而可知切線恒過點；

（2）若有兩個極值點，則有兩個不同的正根，即有兩個零點，也就是的圖像與軸有兩個交點，然后對求導，討論導函數的正負，從而可求出單調區間，進而可得到的取值范圍

（1）∵，所以

又因為，

所以在處的切線方程

即

所以在處的切線恒過定點.

（2）∵，其中，

設，

則，

當時，，

則在單調遞增，

在上至多有一個零點，

即在上至多有一個零點，

∴至多只有一個極值點，不合題意，舍去.

當時，設，，

∴，∴在上單調遞減，

∵，，

∴，使得，即2，

當時，，此時，

∴在單調遞增，

當時，，此時，

∴在單調遞減，

∴在有極大值，

即

若，則，

∴，在單調遞減，不合題意，

若，

設，，

∴在單調遞增，

又，∴，

∵，

∴在單調遞增，

∴，即，

此時，

∵，

在單調遞增，

，使得，

當時，，

∴，在上單調遞減，

當時，，

∴，在上單調遞增，

∴在處取得極小值.

又∵，

∴

∵在單調遞減，，

又∵，∴，

∴，使得，

當時，，

∴，在上單調遞增，

當時，，

∴，在上單調遞減，

∴在處取得極大值.

綜上所述，若有兩個極值點，則實數的取值范圍為.