Question

設關于正整數的函數
（1）求；
（2）是否存在常數使得對一切自然數都成立？并證明你的結論

Answer 1

（1），，
（2）根據數學歸納法思想，先利用特殊值來得到參數的a,b,c的值，然后對于解題的結果運用數學歸納法加以證明。

試題分析：解：（1），，                    3分
（2）假設存在a,b,c使題設的等式成立，這時，n=1,2,3得
             6分
于是，對n=1,2,3下面等式成立：
      8分
記
假設n=k時上式成立，即       10分
那么


也就是說，等式對n=k+1也成立                          3分
綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設的等式對一切自然數n成立    14分
點評：主要是考查了運用數學歸納法證明與自然數相關的命題，以及歸納猜想思想的運用。屬于中檔題。