Question

已知f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N^*,f(n)都能被m整除,則m的最大值為(　　)

A．18

B．36

C．48

D．54

Answer 1

B

先求出當(dāng)n=1,2,3時f(n)的值,由此猜想m的最大值,再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立.
由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除,猜想f(n)能被36整除,即m的最大值為36.當(dāng)n≥1時,可知猜想成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N^*)時,猜想成立,即f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除;當(dāng)n=k+1時,f(k+1)=(2k+9)
·3^k+1+9=(2k+7)·3^k+9+36(k+5)·3^k-2,因此f(k+1)也能被36整除,故所求m的最大值為36.