Question

【題目】定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（3）=0，且當(dāng)x＞0時，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，則函數(shù)g（x）=xf（x）的零點的個數(shù)為（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：根據(jù)題意，y=f（x）是R上的奇函數(shù)，則有f（0）=0，且f（﹣x）=﹣f（x），

又由f（x）滿足f（3）=0，則有f（0）=0=f（3）=f（﹣3），

令函數(shù)h（x）=xf（x），h（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x），∴h（x）=xf（x）是偶函數(shù)，

又x＞0時，f（x）＞﹣xf'（x）恒成立，即f（x）+xf'（x）＞0恒成立，

對于函數(shù)h（x），則有h′（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x）＞0

則x＞0時，函數(shù)h（x）是增函數(shù)，

又∴x＜0時，h（x）是減函數(shù)，

結(jié)合函數(shù)的定義域為R，且g（0）=g（3）=g（﹣3）=0，

所以函數(shù)g（x）=xf（x）的零點的個數(shù)為3，

故選C．

【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．