Question

【題目】設f（x）=ln（1+x）﹣x﹣ax2 ．
（1）當x=1時，f（x）取到極值，求a的值；
（2）當a滿足什么條件時，f（x）在區間 上有單調遞增的區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知f（x）的定義域為（﹣1，+∞），

且f′（x）= ﹣1﹣2ax= ，

當x=1時，f（x）取到極值，∴f′（1）=0，解得a=﹣ ；

當a=﹣ 時，f′（x）= 在（0，1）上小于0，f（x）是減函數，

f′（x）= 在（1，+∞）上大于0，f（x）是增函數，

∴f（1）是函數的極小值，∴a的值為﹣ ；

（2）解：要使f（x）在區間[ ，﹣ ]上有單調遞增的區間，

即f′（x）＞0在[﹣ ，﹣ ]上有解，∴2ax+（2a+1）＞0；

（i）當a=0是，有1＞0，上述不等式恒成立，∴a=0滿足條件；

（ii）當a＞0時，有x＞﹣ ，此時只要﹣ ＜﹣ ，解得：a＞﹣ ，∴取a＞0；

（iii）當a＜0時，有x＜﹣ ，此時只要﹣ ＞﹣ ，解得：a＞﹣1，∴取﹣1＜a＜0；

綜上，a滿足的條件是：a∈（﹣1，+∞）

【解析】（1）當x=1時，f（x）取到極值，即f′（1）=0，解得a的值；（2）f（x）在區間[ ，﹣ ]上有單調遞增的區間，即f′（x）＞0時在[﹣ ，﹣ ]上有解，解含參數的不等式．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)的相關知識才是答題的關鍵．