Question

已知函數在（1,2）上是增函數，在（0,1）上是減函數。
求的值；
當時，若在內恒成立，求實數的取值范圍;
求證：方程在內有唯一解.

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ）。（Ⅲ）方程=0在內有唯一解。

試題分析：（Ⅰ）對任意的恒成立，因此。同理，由即對任意恒成立，因此。所以，
    。
（Ⅱ），時，為減函數，最小值為1.
令，則.
∵，,∴,∴在上為增函數，其最大值為
。
∴，得，故。
（Ⅲ）由得
設,則，
令，由得，解得，
令得，則
，有最小值0，且當時，，
∴方程=0在內有唯一解。
點評：典型題，在給定區間，導數非負，函數為增函數，導數非正，函數為減函數。涉及“不等式恒成立”“方程的解”等問題，往往通過構造函數，轉化成求函數的最值問題，利用導數加以解決。