Question

已知二次函數和“偽二次函數” .
（Ⅰ）證明：只要，無論取何值，函數在定義域內不可能總為增函數；
（Ⅱ）在同一函數圖像上任意取不同兩點A（），B（），線段AB中點為C（），記直線AB的斜率為k.
（1）對于二次函數，求證；
（2）對于“偽二次函數” ，是否有（1）同樣的性質？證明你的結論。

Answer 1

（Ⅰ）恒成立，當時，（Ⅱ）恒成立，∵，由二次函數的性質，（Ⅱ）不可能恒成立，則函數不可能總為增函數.
（Ⅱ）；
（2）“偽二次函數” 不具有（1）的性質.

試題分析：（Ⅰ）定義域為，如果為增函數，則（Ⅰ）恒成立，當時，（Ⅱ）恒成立，∵，由二次函數的性質，（Ⅱ）不可能恒成立，則函數不可能總為增函數.        4分
（Ⅱ）（1）.
由      ∴，則          8分
（2）不妨設，對于“偽二次函數”：
（Ⅲ）
由(1)中（Ⅰ）(Ⅳ)
的性質,則,比較（Ⅲ）(Ⅳ)兩式得 ,
即(Ⅴ)   令 (Ⅵ)
設,則
∴在(1, )上遞增, ∴
∴(Ⅵ)式不可能成立, (Ⅴ)式不可能成立,
∴“偽二次函數” 不具有（1）的性質.           13分
點評：難題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。（I）中要對a的不同取值情況加以討論，在解不等式取舍過程中易于出錯。涉及不等式恒成立問題，轉化成了研究函數的最值，通過構建a的不等式組，求得a的范圍。理解“偽函數的概念”的解題的關鍵之一。