Question

設(shè)f（x）=x²+bx+c（b、c為常數(shù)），方程f（x）=x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，且滿足x₁＞0，x₂-x₁＞1．
（Ⅰ）求證：b²＞2（b+2c）；
（Ⅱ）設(shè)0＜t＜x₁，比較f（t）與x₁的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意f（x）=x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，將其轉(zhuǎn)化為方程x²+bx+c-x=0的兩根為x₁、x₂，根據(jù)韋達(dá)定理x₁+x₂=x₁+x₂=1-b，x₁x₂=c，再根據(jù)條件x₁＞0，x₂-x₁＞1，從而求證．
（2）構(gòu)造函數(shù)g（t）=f（t）-x₁=t²+bt+c-（x₁²+bx₁+c），由已知條件0＜t＜x₁，將方程g（t）=0因式分解，從而求解．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x，得x²+（b-1）x+c=0．
∴x₁+x₂=1-b，x₁x₂=c．（2分）
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（1-b）²-4c=b²-2b+1-4c．
∵x₂-x₁＞1，
∴（x₂-x₁）²＞1．
∴b²-2b+1-4c＞1，即b²＞2（b+2c）．（6分）

（Ⅱ）g（t）=f（t）-x₁=t²+bt+c-（x₁²+bx₁+c）
=（t+x₁）（t-x₁）+b（t-x₁）=（t-x₁）（t+x₁+b）
=（t-x₁）（t+1-x₂）．（10分）
由0＜t＜x₁，知t-x₁＜0．
又∵x₂-x₁＞1，
∴1+x₁-x₂＜0，1+t-x₂＜1+x₁-x₂＜0．
∴（t-x₁）（t+1-x₂）＞0．
∴f（t）＞x₁．（14分）
點(diǎn)評(píng)：此題綜合性很強(qiáng)，難度比較大，要求學(xué)生要能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，要求學(xué)生掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．