Question

已知函數．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）的最小值為；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）注意到分式中分母之間的關系，在分式上乘以并展開，利用基本不等式可以求出函數的最小值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的基礎上，將不等式等價轉化為，求出的取值范圍即可.
試題解析：（Ⅰ）因為，且，所以，由柯西不等式
，
當且僅當，即時取等號，
∴的最小值為．                                            4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知的最小值為，由題意可得，∴，
則實數的取值范圍為．                                    7分