Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系上放置一個邊長為1的正方形，此正方形沿軸滾動（向左或者向右均可），滾動開始時，點(diǎn)在原點(diǎn)處，例如：向右滾動時，點(diǎn)的軌跡起初時以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓弧，然后以點(diǎn)與軸交點(diǎn)為圓心，長度為半徑……，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式是，該函數(shù)相鄰兩個零點(diǎn)之間的距離為.

（1）寫出的值，并求出當(dāng)時，點(diǎn)軌跡與軸所圍成的圖形的面積，研究該函數(shù)的性質(zhì)并填寫下面的表格：

函數(shù)性質(zhì)	結(jié)論
奇偶性
單調(diào)性	遞增區(qū)間
	遞減區(qū)間
零點(diǎn)

（2）已知方程在區(qū)間上有11個根，求實(shí)數(shù)的取值范圍

（3）寫出函數(shù)的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】（1），性質(zhì)如表：

函數(shù)性質(zhì)	結(jié)論
奇偶性	偶函數(shù)
單調(diào)性	遞增區(qū)間
	遞減區(qū)間
零點(diǎn)

（2）

（3）

【解析】

（1）做出點(diǎn)的軌跡示意圖如下圖1所示，可得該函數(shù)相鄰兩個零點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)軌跡與軸所圍成的圖形的面積，函數(shù)的奇偶性，單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)；

（2）令，則函數(shù)都是偶函數(shù)，且兩個函數(shù)一定交于原點(diǎn)，要使方程在區(qū)間上有11個根，只需兩函數(shù)在上有5個交點(diǎn)，分別得出和時，函數(shù)的解析式，再代入方程中，對進(jìn)行參變分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而可得范圍；

（3）通過點(diǎn)的軌跡示意圖1可知，當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，可得函數(shù)的解析式.

（1）點(diǎn)的軌跡如下圖1所示，所以該函數(shù)相鄰兩個零點(diǎn)之間的距離為，

在當(dāng)時，點(diǎn)軌跡與軸所圍成的圖形的面積，

所以，

由圖示可以得函數(shù)是偶函數(shù)，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

函數(shù)的零點(diǎn)是.得下表：

函數(shù)性質(zhì)	結(jié)論
奇偶性	偶函數(shù)
單調(diào)性	遞增區(qū)間
	遞減區(qū)間
零點(diǎn)

（2）令，則函數(shù)都是偶函數(shù)，且兩個函數(shù)一定交于原點(diǎn)，

要使方程在區(qū)間上有11個根，只需兩函數(shù)在上有5個交點(diǎn)，做出圖像如下圖2，

當(dāng)時，，依題意需方程在有兩個根，

對進(jìn)行參變分離得，令，則，對稱軸，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

要使方程在有兩個根，

則需與在有兩個交點(diǎn)，且，

所以，解得；

當(dāng)時，，依題意需方程在有兩個根，

對進(jìn)行參變分離得，

令，則，對稱軸，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

要使方程在有兩個根，

則需與在有兩個交點(diǎn)，且，

所以，解得，

又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（3）通過圖1可知，

當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，所以，

當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，所以，

當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，所以，

當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，所以，，

所以函數(shù).