Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC與BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，AB=2CD=2 ，E，F分別是AB，AP的中點．

（1）求證：AC⊥EF；
（2）求二面角F﹣OE﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC與BD交于O，可知：△OAB是等腰直角三角形，

∵AB=2CD=2 ，E是AB的中點，∴OE=EA=EB= ，可得OA=OB=2．

∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥OA，PO⊥OB．又OA⊥OB．

∴可以建立如圖所示的空間直角坐標系．

則O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，0），F（1，0，1）．

∴ ， ．

∴ ，∴EF⊥AO，即EF⊥AC

（2）解：由（1）可知： ， ．

設平面OEF的法向量為 ，

則 ，得 ，令x=1，則y=z=﹣1．

∴ ．

∵PO⊥平面OAE，∴可取 作為平面OAE的法向量．

∴ = = = ．

由圖可知：二面角F﹣OE﹣A的平面角是銳角θ．

因此， ．

【解析】（1）通過建立空間直角坐標系，利用EF與AO的方向向量的數量積等于0，即可證明垂直；（2）利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角的余弦值．