Question

已知a，b∈R，函數f（x）=ln（x+1）-x²+ax+b的圖象經過點A（0，2）．
（1）若曲線y=f（x）在點A處的切線與直線3x-y-1=0平行，求實數a的值；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上為減函數，求實數a的取值范圍；
（3）令a=-1，c∈R，函數g（x）=c+2cx-x²，若對任意x₁∈（-1，+∞），總存在x₂∈[-1，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用曲線y=f（x）在點A處的切線與直線3x-y-1=0平行，即可求得a的值；
（2）函數f（x）在[1，+∞）上為減函數，等價于f′(x)=

1

x+1

-2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立，分離參數可得a≤2x-

1

x+1

在[1，+∞）上恒成立，求出右邊對應函數的最小值，即可確定實數a的取值范圍；
（3）若對任意x₁∈（-1，+∞），總存在x₂∈[-1，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，則函數f（x）在x∈（-1，+∞）上的值域是函數g（x）在x∈[-1，+∞）上的值域的子集，由此可得結論．

解答：解：（1）求導函數可得f′(x)=

1

x+1

-2x+a
∵曲線y=f（x）在點A處的切線與直線3x-y-1=0平行，
∴f′（0）=1+a=3，∴a=2；
（2）∵函數f（x）在[1，+∞）上為減函數，∴f′(x)=

1

x+1

-2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立
∴a≤2x-

1

x+1

在[1，+∞）上恒成立
設g（x）=2x-

1

x+1

，則2-

1

(x+1)2

∵x≥1，∴g′（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上為增函數
∴g（x）_min=g（1）=

7

4

，∴a≤

7

4

；
（3）若對任意x₁∈（-1，+∞），總存在x₂∈[-1，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，則函數f（x）在x∈（-1，+∞）上的值域是函數g（x）在x∈[-1，+∞）上的值域的子集
對于函數f（x），∵a=-1，∴f（x）=ln（x+1）-x²-x+b
∵函數過點A（0，2），∴b=2，∴f（x）=ln（x+1）-x²-x+2（x∈（-1，+∞））
∴f′(x)=

-x(2x+3)

x+1

令f′(x)=

-x(2x+3)

x+1

=0，得x₁=0，x₂=-

3

2

（舍去）
∴函數在（-1，0）上單調增，在（0，+∞）上單調減
∴函數在x=0時取得最大值f（0）=2
∴f（x）的值域為（-∞，2]，
g（x）=c+2cx-x²，=-（x-c）²+c+c²，
①當c≤-1時，g（x）的最大值為g（-1）=-1-2c+c=-1-c，則g（x）的值域為（-∞，-1-c]，所以（-∞，2]⊆（-∞，-1-c]，
∴-1-c≥2，∴c≤-3；
②當c＞-1時，g（x）的最大值為g（c）=c+c²，則g（x）的值域為（-∞，c+c²]，所以（-∞，2]⊆（-∞，c+c²]，
∴c+c²≥2，∴c≤-2或c≥1，∴c≥1；
綜上所述，c的取值范圍為（-∞，-3]∪[1，+∞）．

點評：本題重點考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是利用導數確定函數的單調性．