Question

已知a，b∈R+，函數(shù)f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）比較

a2+b2

a+b

與

ab

的大�。�

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明．（2）通過作差法判斷大小．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)遞增函數(shù)，證明如下：
設(shè)x＜y，則x-y＜0，f(x)-f(y)=

(a-b)(ax-y-bx-y)ayby

(ax+bx)(ay+by)

，
①當(dāng)a=b時，f（x）為常數(shù)函數(shù)，此時不單調(diào)．
②若a＞b，則a-b＞0，a^x-y＜b^x-y，a^x-y-b^x-y＜0，所以f（x）＜f（y），
此時函數(shù)f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)遞增函數(shù)．
③當(dāng)a＜b，則a-b＜0，a^x-y＞b^x-y，a^x-y-b^x-y＞0，所以f（x）＜f（y），
此時函數(shù)f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)遞增函數(shù)．
（2）

a2+b2

a+b

-

ab

=

a2+b2-a ab -b ab

a+b

=

a2+b2-a 3 2 b 1 2 -a 1 2 b 3 2

a+b

=

(a 3 2 -b 3 2 )(a 1 2 -b 1 2 )

a+b

，
因為冪函數(shù)x

3

2

，x

1

2

在（0，+∞）上單調(diào)遞增，具有相同的單調(diào)性．
所以當(dāng)a=b時，

a2+b2

a+b

=

ab

．
當(dāng)a≠b時，

a2+b2

a+b

＞

ab

．

點評：本題的考點是利用作差法比較兩個數(shù)的大小以及利用單調(diào)性的定義去判斷函數(shù)的單調(diào)性，作差法是比較大小中最常用的一種方法．