Question

用綜合法或分析法證明：
（1）如果a＞0，b＞0，則lg

a+b

2

≥

lga+lgb

2

；
（2）求證：

6

-

5

＞2

2

-

7

．

Answer 1

分析：（1）利用基本不等式可得

a+b

2

≥

ab

＞0，再由y=lgx在（0，+∞）上增函數，從而有lg

a+b

2

≥

lga+lgb

2

．
（2）用分析法證明不等式成立，就是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然成立為止．

解答：（1）證明：∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2

ab

． …（3分）
（當且僅當a=b時，取“=”號） 即：

a+b

2

≥

ab

＞0． …（4分）
又 y=lgx在（0，+∞）上增函數，…（5分）
所以，lg

a+b

2

≥ lg

ab

=

lgab

2

=

lga+lgb

2

，故lg

a+b

2

≥

lga+lgb

2

成立．…（7分）
（2）證明：要證

6

-

5

＞2

2

-

7

，
只需證

6

+

7

＞2

2

+

5

，…（9分）
只需證：2

42

＞2

40

，只需證：42＞40．…（12分）
因為42＞40顯然成立，所以 

6

-

5

＞2

2

-

7

．…（14分）

點評：本題主要考查對數函數的單調性和定義域，基本不等式的應用，用分析法證明不等式，屬于中檔題．