Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點， ， 在圓上．

（1）求圓的方程；

（2）過點的直線交圓于， 兩點．　

①若弦長，求直線的方程；

②分別過點， 作圓的切線，交于點，判斷點在何種圖形上運動，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）設圓的方程為： ，將點， ， 分別代入圓方程列方程組可解得， ， ，從而可得圓的方程；（2）①由（1）得圓的標準方程為，討論兩種情況，當直線的斜率存在時，設為，則的方程為，由弦長，根據點到直線距離公式列方程求得，從而可得直線的方程；②，利用兩圓公共弦方程求出切點弦方程，將代入切點弦方程，即可得結果.

試題解析：（1）設圓的方程為： ，由題意可得

解得， ， ，故圓的方程為．

（2）由（1）得圓的標準方程為．

①當直線的斜率不存在時， 的方程是，符合題意；

當直線的斜率存在時，設為，則的方程為，即，

由，可得圓心到的距離，

故，解得，故的方程是，

所以， 的方程是或．

②設，則切線長，

故以為圓心， 為半徑的圓的方程為，

化簡得圓的方程為： ，①

又因為的方程為，②

②①化簡得直線的方程為，

將代入得： ，

故點在直線上運動．