Question

【題目】已知函數．

(1)求的單調區間；

(2)若,存在,使得,求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) .

【解析】

(1)根據的不同取值,結合絕對值的性質,分類討論求出函數的單調區間；

(2) 求出二次函數的對稱軸,根據對稱軸和所給的區間的位置進行分類討論,即可求出實數的取值范圍．

(1)當時, ,因此函數在上單調遞增,在上單調遞減；

當時, ,

在區間上單調遞增,在區間上單調遞減；

當時, ,

在區間上單調遞增,在區間上單調遞減；

(2)二次函數的對稱軸為：.

①當時,二次函數是單調減函數,因此有：

,

所以一元二次方程在區間上有兩不等根,則有

；

②當時,二次函數是單調增函數,因此有：

,所以可以看成一元二次方程兩根,則，有；

③當時, ,所以由

函數的最大值是中的一個值, .

①若時,有,此時,所以或

(i)若時,

(ii)若,由（舍）：

②若時,有,此時,

因此有,

根據

綜上所述：實數的取值范圍是.