Question

設直線l：y=k（x+1）與橢圓x²+3y²=a²（a＞0）相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若，△OAB的面積取得最大值時橢圓方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，直線l顯然不平行于坐標軸，
故y=k（x+1）可化為
將代入x²+3y²=a²，消去x，
得①
由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得
△=
化簡整理即得．（☆）
（Ⅱ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由①，得②
因為，由，
得y₁=-2y₂③
由②③聯立，解得y₂=④
△OAB的面積
=
上式取等號的條件是3k²=1，即
當時，由④解得；
當時，由④解得．
將及這兩組值分別代入①，
均可解出a²=5
經驗證，a²=5，滿足（☆）式．
所以，△OAB的面積取得最大值時橢圓方程是x²+3y²=5
注：若未驗證（說明）滿足（☆）式，．
分析：（I）設直線l的方程為y=k（x+1），將直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關于y的一元二次方程，再結合直線l與橢圓相交于兩個不同的點得到根的判別式大于0，從而解決問題．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（I），得，由，得y₂=從而求得△OAB的面積，最后利用基本不等式求得其最大值，及取值最大值時的k值，從而△OAB的面積取得最大值時橢圓方程即可．
點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、基本不等式、橢圓方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．