Question

設直線l：y=k（x+1）（k≠0）與橢圓3x²+y²=a²（a＞0）相交于A，B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點．
（1）證明：a²＞

3k2

3+k2

（2）若k=

3

且

AC

=2

CB

，求△OAB的面積及橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）由直線l與橢圓相交于A，B兩個不同的點，故聯立直線方程和橢圓方程所得方程組有兩組根，進而可得方程（

3

k2

+1）y²-

6

k

y+3-a²=0的△＞0，化簡后可得結論；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AC

=2

CB

，可得y₁=-2y₂，由韋達定理可得y₁+y₂=

3

，求出y₂后，可得△OAB的面積及橢圓方程．

解答：證明：（1）由

y=k(x+1) 3x2+y2=a2

得：
（

3

k2

+1）y²-

6

k

y+3-a²=0…①
∵直線l與橢圓相交于A，B兩個不同的點，
∴方程①有兩個不等的實根，
即△=(

6

k

)2-4(

3

k2

+1)(3-a2)＞0
即(

3

k2

+1)a2＞3
即a²＞

3k2

3+k2

解：（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當k=

3

時，方程①可化為：2y²-2

3

y+3-a²=0
∴y₁+y₂=

3

…②
又∵

AC

=2

CB

，C點坐標為（-1，0）
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
即y₁=-2y₂…③
由②③得：y₂=-

3

，y₁=2

3

∴△OAB的面積S=

1

2

•|OC|•|y₁-y₂|=

3 3

2

將y₂=-

3

，代入2y²-2

3

y+3-a²=0得：a²=15
故橢圓的方程為：3x²+y²=15

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線，橢圓的標準方程，是高考的壓軸題型，運算量大，綜合性強，屬于難題．