Question

設直線l：y=k（x+1）（k≠0）與橢圓3x²+y²=a²（a＞0）相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點．
（1）證明：a2＞

3k2

3+k2

；
（2）若

.

AC

=2

.

CB

，求△OAB的面積取得最大值時的橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）把直線l的方程代人橢圓方程，由直線與橢圓相交于A、B兩個不同的點可得△＞0，解出即可證明；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用根與系數的關系及向量相等得到y₁，y₂的關系及可用k來表示，再利用三角形的面積公式∴△OAB的面積 S=

1

2

|OC|•|y2-y1|及基本不等式的性質即可得出取得面積最大值時的k的值，進而得到a的值．

解答：（1）證明：由y=k（x+1）（k≠0）得x=

1

k

y-1．
并代入橢圓方程3x²+y²=a²消去x得（3+k²）y²-6ky+3k²-k²a²=0   ①
∵直線l與橢圓相交于兩個不同的點得△=36k²-4（3+k²）（3k²-k²a²）＞0，
∴a2＞

3k2

3+k2

．
（2）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由①，得y1+y2=

6k

3+k2

，②
∵

AC

=2

CB

，而點C（-1，0），
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
得y₁=-2y₂代入②，得y2=

-6k

3+k2

，③
∴△OAB的面積 S=

1

2

|OC|•|y2-y1|=

3

2

|y2|=

9|k|

3+k2

≤

9|k|

2 3 |k|

=

3 3

2

，當且僅當k²=3，即k=±

3

時取等號．
把k的值代人③可得y2=±

3

，
將

k= 3 y2=- 3

及

k=- 3 y2= 3

這兩組值分別代入①，均可解出a²=15．
∴△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是3x²+y²=15．

點評：本題綜合考查了直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、△＞0、向量相等、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．