Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F作傾斜角為45°的直線與拋物線交于A、B兩點，若線段AB的長為16，則p的值等于

 

．

Answer 1

分析：拋物線的方程可求得焦點坐標，進而根據斜率表示出直線的方程，與拋物線的方程聯立消去y，進而根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用配方法求得|x₁-x₂|，利用弦長公式表示出段AB的長求得p．

解答：解：由題意可知過焦點的直線方程為 y=x-

p

2

，
聯立有

y2=2px y=x- p 2

?x2-3px+

p2

4

=0，
∴x₁+x₂=3p，x₁x₂=

p2

4

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(3p)2-4× p2 4

又 |AB|=

(1+12)

(3p)2-4× p2 4

=16求得p=4
故答案為：2

點評：本題主要考查了拋物線的應用，兩點間的距離公式的應用．解題的時候注意利用好韋達定理，設而不求，找到解決問題的途徑．