Question

已知函數f（x）=sinx-cosx，x∈R．
（1）求函數f（x）在[0，2π]內的單調遞增區間；
（2）若函數f（x）在x=x₀處取到最大值，求f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）的值；
（3）若g（x）=e^x（x∈r），求證：方程f（x）=g（x）在[0，+∞）內沒有實數解．
（參考數據：ln2≈0.69，π≈3.14）

Answer 1

分析：（1）在f（x）中提出

2

湊出兩角和的正弦公式，利用兩角差的正弦公式化簡f（x）；令整體角在正弦的遞增區間上，求出x的范圍即為遞增區間．
（2）通過整體角處理的方法，令整體角等于2kπ+

π

2

求出角x₀，代入求出f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）的值．
（3）通過分段討論求出兩個函數的最值，判斷出兩個函數的交點情況，得到方程解的情況．

解答：解：（1）f（x）=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，
令x-

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

](k∈z)
則x∈[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

](k∈Z)，（2分）
由于X∈[0，2π]，則f（x）在[0，2π]內的單調遞增區間為[0，

3π

4

]和[

7π

4

，2π]；
（2）依題意，x0=2kπ+

3π

4

(k∈Z)，（6分）
由周期性，f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）
=(sin

3π

4

-cos

3π

4

)+(sin

3π

2

-cos

3π

2

)+(sin

9π

4

-cos

9π

4

)=

2

-1；（8分）
（3）函數g（x）=e^x（x∈R）為單調增函數，
且當x∈[0，

π

4

]時，f（x）≤0，g（x）=e^x＞0，此時有f（x）＜g（x）；（10分）
當x∈[

π

4

，+∞)時，由于lne

π

4

=

π

4

≈0.785，而ln

2

≈0.345，
則有lne

π

4

＞ ln

2

，即g(

π

4

)=e

π

4

＞

2

，
又Qg（x）為增函數，∴當x∈[

π

4

，+∞)時，g(x)＞

2

（12分）
而函數f（x）的最大值為

2

，即f(x)≤

2

，
則當x∈[

π

4

，+∞時，恒有f（x）＜g（x），
綜上，在[0，+∞）恒有f（x）＜g（x），
即方程f（x）=g（x在[0，+∞）內沒有實數解．（14分）

點評：本題考查兩個角的和差的正弦公式、考查整體角處理的思想方法、考查方程解的情況轉化為函數交點的情況．