Question

【題目】在四棱錐中， 為正三角形，四邊形為矩形，平面 平面， ， 分別為的中點。

（Ⅰ）求證： //平面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）MN是△ABC的中位線，可得MN∥BC∥AD，即可證以MN∥平面PAD．

（Ⅱ）過點P作PO垂直于AB，交AB于點O，因為平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，如圖建立空間直角坐標系設AB=2，則A（-1,0，0），C（1,1，0）,M（,0， ）,B（1,0，0），N（,， ），利用向量法求解．

試題解析：

（Ⅰ）證明：∵M，N分別是PB，PC中點

∴MN是△ABC的中位線 ∴MN∥BC∥AD

又∵AD平面PAD，MN平面PAD

所以MN∥平面PAD.

(Ⅱ)過點P作PO垂直于AB，交AB于點O，

因為平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，

如圖建立空間直角坐標系

設AB=2，則A（-1,0，0），C（1,1，0）,M（,0， ）,

B（1,0，0），N（,， ），則，

設平面CAM法向量為，由 可得

，令，則，即

平面法向量

所以，二面角的余弦值

因為二面角是銳二面角，

所以二面角等于