Question

【題目】已知函數f（x）= ，把函數g（x）=f（x）﹣x的零點按從小到大的順序排列成一個數列，則該數列的通項公式為（ ）
A.
B.an=n﹣1
C.an=n（n﹣1）
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：當x∈（﹣∞，0]時，由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x=x+1．令y=2x ， y=x+1．在同一個坐標系內作出兩函數在區間（﹣∞，0]上的圖象，由圖象易知交點為（0，1），故得到函數的零點為x=0．
當x∈（0，1]時，x﹣1∈（﹣1，0]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣1 ， 由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x﹣1=x．令y=2x﹣1 ， y=x．在同一個坐標系內作出兩函數在區間（0，1]上的圖象，由圖象易知交點為（1，1），故得到函數的零點為x=1．
當x∈（1，2]時，x﹣1∈（0，1]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣2+1，由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣2+1﹣x=0，得2x﹣2=x﹣1．令y=2x﹣2 ， y=x﹣1．在同一個坐標系內作出兩函數在區間（1，2]上的圖象，由圖象易知交點為（2，1），故得到函數的零點為x=2．
依此類推，當x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]時，構造的兩函數圖象的交點依次為（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得對應的零點分別為x=3，x=4，…，x=n+1．
故所有的零點從小到大依次排列為0，1，2，…，n+1．其對應的數列的通項公式為an=n﹣1．
故選B．

【考點精析】本題主要考查了等差數列的通項公式（及其變式）的相關知識點，需要掌握通項公式：或才能正確解答此題．