Question

．（本小題滿分12分）如圖所示，矩形ABCD的邊AB=，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，現有數據： ①；②；③；建立適當的空間直角坐標系，

（I）當BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD時，可能取所給數據中的哪些值?請說明理由；

（II）在滿足（I）的條件下，若取所給數據的最小值時，這樣的點Q有幾個? 若沿BC方向依次記為，試求二面角的大小.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（I）建立如圖所示的空間直角坐標系,則各點坐標分別為:

  ，，，，

 

 

設(0≤x≤2)， …………………2分

∵∴由PQ⊥QD得

。

∵ ……………4分

∴在所給數據中，可取和兩個值. ……6分

 

(II)  由(Ⅰ)知，此時或，即滿足條件的點Q有兩個，…8分

根據題意，其坐標為和，……9分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，

∴∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角.……………………10分

由=，

得∠Q₁AQ₂=30°，∴二面角Q₁-PA-Q₂的大小為30°.………………………12分

 

【解析】略