Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個(gè)數(shù)．
（1）設(shè)集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分別求l（P）和l（Q）的值；
（2）若集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，求l（A）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)定義確定l（P），l（Q）；
（2）由題意可得：l（A）≤

n(n-1)

2

，再分情況討論當(dāng)j≠l時(shí)與當(dāng)j=l，i≠k時(shí)，均有a_i+a_j≠a_k+a_l，進(jìn)而得到l（A）=

n(n-1)

2

．

解答：解：（1）由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，
得l（Q）=6
（2）因?yàn)榧�合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}最多有

n(n-1)

2

個(gè)a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值，
所以l（A）≤

n(n-1)

2

．
又集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，任取a_i+a_j，a_k+a_l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），
當(dāng)j≠l時(shí)，不妨設(shè)j＜l，則a_i+a_j＜2a_j=2^j+1≤a_l＜a_k+a_l，即a_i+a_j≠a_k+a_l．
當(dāng)j=l，i≠k時(shí)，a_i+a_j≠a_k+a_l．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)i=k，j=l時(shí)，a_i+a_j=a_k+a_l．
即所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值兩兩不同，
所以l（A）=

n(n-1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合與元素的關(guān)系，以及組合的有關(guān)知識(shí)，認(rèn)真審題，正確的理解題意并且仔細(xì)解答是解題的關(guān)鍵點(diǎn)．