Question

已知集合A=a₁，a₂，…，a_n中的元素都是正整數，且a₁＜a₂＜…＜a_n，對任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥

xy

25

．
（Ⅰ）求證：

1

a1

-

1

an

≥

n-1

25

；    
（Ⅱ）求證：n≤9；
（Ⅲ）對于n=9，試給出一個滿足條件的集合A．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意有|ai-ai+1|≥

aiai+1

25

(i=1，2，，n-1)，又a₁＜a₂＜＜a_n，因此ai+1-ai≥

aiai+1

25

(i=1，2，，n-1)．由此能夠證明

1

a1

-

1

an

≥

n-1

25

．
（Ⅱ）由

1

a1

＞

n-1

25

，a₁≥1，可得1＞

n-1

25

，因此n＜26．同理

1

ai

-

1

an

≥

n-i

25

，可知

1

ai

＞

n-i

25

．由此能夠推導出n≤9．
（Ⅲ）對于任意1≤i＜j≤n，a_i＜a_i+1≤a_j，由

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

25

(i=1，2，，n-1)，可知

1

ai

-

1

aj

≥

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

25

．只需對1≤i＜n，

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

25

成立即可，由此能夠導出滿足條件的一個集合A=1，2，3，4，5，7，10，20，100．

解答：解：（Ⅰ）證明：依題意有|ai-ai+1|≥

aiai+1

25

(i=1，2，，n-1)，又a₁＜a₂＜＜a_n，
因此ai+1-ai≥

aiai+1

25

(i=1，2，，n-1)．
可得

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

25

(i=1，2，，n-1)．
所以

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+

1

ai

-

1

ai+1

++

1

an-1

-

1

an

≥

n-1

25

．
即

1

a1

-

1

an

≥

n-1

25

．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得

1

a1

＞

n-1

25

．
又a₁≥1，可得1＞

n-1

25

，因此n＜26．
同理

1

ai

-

1

an

≥

n-i

25

，可知

1

ai

＞

n-i

25

．
又a_i≥i，可得

1

i

＞

n-i

25

，
所以i（n-i）＜25（i=1，2，，n-1）均成立．
當n≥10時，取i=5，則i（n-i）=5（n-5）≥25，
可知n＜10．
又當n≤9時，i(n-i)≤(

i+n-i

2

)2=(

n

2

)2＜25．
所以n≤9．
（Ⅲ）解：對于任意1≤i＜j≤n，a_i＜a_i+1≤a_j，
由

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

25

(i=1，2，，n-1)可知，

1

ai

-

1

aj

≥

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

25

，即|ai-aj|≥

aiaj

25

．
因此，只需對1≤i＜n，

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

25

成立即可．
因為1-

1

2

≥

1

25

；

1

2

-

1

3

≥

1

25

；

1

3

-

1

4

≥

1

25

；

1

4

-

1

5

≥

1

25

，
因此可設a₁=1；a₂=2；a₃=3；a₄=4；a₅=5．
由

1

a5

-

1

a6

≥

1

25

，可得a6≥

25

4

，取a₆=7．
由

1

a6

-

1

a7

≥

1

25

，可得a7≥

175

18

，取a₇=10．
由

1

a7

-

1

a8

≥

1

25

，可得a8≥

50

3

，取a₈=20．
由

1

a8

-

1

a9

≥

1

25

，可得a₉≥100，取a₉=100．
所以滿足條件的一個集合A=1，2，3，4，5，7，10，20，100．

點評：本題考查數列的性質的綜合運用，解題時要認真審題，注意公式的合理運用，合理地進行等價轉化．