Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數．
（Ⅰ）若集合A={2，4，8，16}，則l（A）=

 

；
（Ⅱ）當n=108時，l（A）的最小值為

 

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據定義結合題中所給的集合即可確定l（Q）；
（Ⅱ）根據集合A的元素特點，求出求l（A）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，
得l（Q）=6．
（Ⅱ）不妨設a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，可得
a₁+a₂＜a₁+a₃＜…＜a₁+a_n＜a₂+a_n＜a₃+a_n＜…＜a_n-1+a_n，
故a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中至少有2n-3個不同的數，即l（A）≥2n-3．
事實上，設a₁，a₂，a₃，…，a_n成等差數列，考慮a_i+a_j（1≤i＜j≤n），
根據等差數列的性質，當i+j≤n時，a_i+a_j=a₁+a_i+j-1；當i+j＞n時，a_i+a_j=a_i+j-n+a_n；
因此每個和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）等于a₁+a_k（2≤k≤n）中的一個，或者等于a_l+a_n（2≤l≤n-1）中的一個．
故對這樣的集合A，l（A）=2n-3，所以l（A）的最小值為2n-3．
當n=108時，l（A）的最小值為213．
故答案為：（Ⅰ）6．（Ⅱ）213．

點評：本題主要考查集合與元素的關系，以及組合的有關知識，認真審題，正確的理解題意并且仔細解答是解題的關鍵點