Question

【題目】已知函數,其中為正實數．

(1)若函數在處的切線斜率為2，求的值；

(2)求函數的單調區間；

(3)若函數有兩個極值點，求證： ．

Answer 1

【答案】(1)1(2) 單調減區間為,,單調減區間為．（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據導數幾何意義得，解得的值；（2）先求導數，再根據導函數是否變號分類討論，最后根據導函數符號確定單調區間（3）先根據韋達定理得，再化簡，進而化簡所證不等式為，最后利用導函數求函數單調性，進而確定最小值，證得結論

試題解析：(1)因為，所以，

則,所以的值為1．

(2) ，函數的定義域為，

若,即,則,此時的單調減區間為;

若,即,則的兩根為,

此時的單調減區間為,,

單調減區間為．

(3)由(2)知，當時，函數有兩個極值點,且．

因為

要證,只需證．

構造函數，則，

在上單調遞增,又,且在定義域上不間斷,

由零點存在定理，可知在上唯一實根, 且．

則在上遞減, 上遞增,所以的最小值為．

因為,

當時, ,則,所以恒成立．

所以,所以，得證．