Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx，f（x-1）為偶函數，集合A={x|f（x）=x}為單元素集合．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設函數g（x）=[f（x）-m]•e^x，若函數g（x）在x∈[-3，2]上單調，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據二次函數f（x）=ax²+bx，f（x-1）為偶函數，集合A={x|f（x）=x}為單元素集合，可得f（x）的對稱軸為x=-1，f（x）=x有兩個相等的實數根，由此可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）g（x）=（

1

2

x²+x-m）•e^x，分類討論：若函數g（x）在x∈[-3，2]上單調遞增，則g′（x）≥0在x∈[-3，2]上恒成立；函數g（x）在x∈[-3，2]上單調遞減，則g′（x）≤0在x∈[-3，2]上恒成立，再分離參數即可求得實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵二次函數f（x）=ax²+bx，f（x-1）為偶函數，
∴f（x）的對稱軸為x=-1，∴-

b

2a

=-1
∵集合A={x|f（x）=x}為單元素集合
∴f（x）=x有兩個相等的實數根
∴ax²+（b-1）x=0，∴b=1
∴

b=1 - b 2a =-1

∴

b=1 a= 1 2

∴f（x）的解析式為f（x）=

1

2

x²+x；
（Ⅱ）g（x）=（

1

2

x²+x-m）•e^x，
若函數g（x）在x∈[-3，2]上單調遞增，則g′（x）≥0在x∈[-3，2]上恒成立
即（

1

2

x²+2x+1-m）•e^x≥0對x∈[-3，2]上恒成立
∴m≤（

1

2

x²+2x+1）_min（x∈[-3，2]）
∴m≤-1
若函數g（x）在x∈[-3，2]上單調遞減，則g′（x）≤0在x∈[-3，2]上恒成立
即（

1

2

x²+2x+1-m）•e^x≤0對x∈[-3，2]上恒成立
∴m≥（

1

2

x²+2x+1）_max（x∈[-3，2]）
∴m≥7
∴實數m的取值范圍為（-∞，-1]∪[7，+∞）．

點評：本題主要考查二次函數、函數的單調性，考查利用函數單調性求參數取值范圍的綜合運用．