Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，）.

（Ⅰ）若是函數(shù)的一個極值點，求的值；

（Ⅱ）求證：當時，在上是增函數(shù)；

（Ⅲ）若對任意的（1，2），總存在，使不等式成立，求實數(shù)的取范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）略

（Ⅲ）實數(shù)的取值范圍為.

【解析】

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用．以及不等是的求解，和函數(shù)單調(diào)性的判定的綜合運用．

（1）因為

由已知，得即， 得到a的值，

（2）當時，

當時，.又，故在上是增函數(shù)

（3）當時，由（Ⅱ）知，在上的最大值為

于是問題等價于：對任意的，不等式恒成立.

利用構(gòu)造函數(shù)得到結(jié)論．

解：……………1分

（Ⅰ）由已知，得即，……3分

經(jīng)檢驗，滿足條件.……………………………………4分

（Ⅱ）當時，…………5分

當時，.又，故在上是增函數(shù)

（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）知，在上的最大值為

于是問題等價于：對任意的，不等式恒成立.

記

則…………………………9分

當時，有，且在區(qū)間（1，2）上遞減，且，則不可能使恒成立，故必有…………11分

當，且

若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上有，與恒成立矛盾，故，這時，即在（1，2）上遞增，恒有滿足題設(shè)要求.

，即，所以，實數(shù)的取值范圍為.……………………14分