Question

如圖，若F₁、F₂為雙曲線的左、右焦點，O為坐標原點，P在雙曲線左支上，M在右準線上，且四邊形OMPF₁為菱形．

(Ⅰ)若此雙曲線過點，求雙曲線的方程；

(Ⅱ)設(Ⅰ)中雙曲線的虛軸端點為B₁、B₂(B₁在y軸的正半軸上)，過B₂作直線l與雙曲線交于A、B兩點，當時，求直線l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解(Ⅰ)∵四邊形PF1OM是菱形，設半焦距為c，則有|OF1|＝|PF1|＝|PM|＝c， 　　∴|PF2|＝|PF1|＝2a＝c＝2a．由雙曲線第二定義得 　　即　　2分 　　又 　　設雙曲線方程為　　4分 　　∵雙曲線過點N(2，)，得a2＝3 　　∴所求雙曲線的方程為　　6分 　　(Ⅱ)由題意知B1(0，3)、B2(0，－3)，設直線l的方程為 　　 　　則由　消去y得　　7分 　　 　　∵雙曲線的漸近線為，∴時，直線l與雙曲線只有一個交點， 　　即　　9分 　　∵ 　　∴ 　　又∵， 　　而 　　∴， 　　即　　11分 　　∴直線l的方程為　　12分