Question

如圖,若F₁、F₂為雙曲線=1的左、右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),P在雙曲線左支上,M在右準(zhǔn)線上,且滿(mǎn)足=,

=.

(1)求雙曲線的離心率;

(2)若雙曲線過(guò)點(diǎn)N(2,),求雙曲線的方程.

Answer 1

解:(1)由=知四邊形PF₁OM是平行四邊形,

又由知OP平分∠F₁OM,∴四邊形PF₁OM是菱形.

設(shè)雙曲線的半焦距為c,則||=||=||=c,∴||=||+2a=c+2a.

由雙曲線第二定義可知=e,即=e,∴e=2.

(2)∵e==2,∴c=2a.∴雙曲線方程為=1.

又∵雙曲線過(guò)點(diǎn)M(2,),∴=1,即a²=3.

∴所求雙曲線的方程為=1.