Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π）．

（1）求曲線C的直角坐標方程；

（2）在曲線C上求一點D，使它到直線l：的距離最短，并求出點D的直角坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用可把圓C的極坐標方程化為普通方程．

（2）利用圓的幾何性質即可得到結果．

(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π)，可得ρ2＝2ρsin θ.

因為ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，

所以曲線C的直角坐標方程為x2＋(y－1)2＝1.

(2)因為曲線C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0,1)為圓心、1為半徑的圓，易知曲線C與直線l相離．

設點D(x0，y0)，且點D到直線l：y＝－x＋5的距離最短，

所以曲線C在點D處的切線與直線l：y＝－x＋5平行．

即直線CD與l的斜率的乘積等于－1，

即×(－)＝－1，又x＋(y0－1)2＝1，

可得x0＝－ (舍去)或x0＝，所以y0＝，

即點D的坐標為.