Question

設函數.

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）若當時，設函數圖象上任意一點處的切線的傾斜角為，求的取值范圍；

(Ⅲ)若關于的方程在區間[0,2]上恰好有兩個相異的實根，求實數的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）函數的遞增區間是(-2,-1),(0,+ ∞),遞減區間是(－∞,-2)，(-1,0)

（Ⅱ）

(Ⅲ)

解析:

(Ⅰ)函數的定義域為(－∞，－1)∪(－1,＋∞)

                           …………………2分

由得，由得.

所以函數的遞增區間是(-2,-1),(0,+ ∞),遞減區間是(－∞,-2)，(-1,0)…4分

（Ⅱ）令， 則，故為區間上增函數，所以，根據導數的幾何意義可知

， 故  ……………………9分

(Ⅲ)方程,即

記，   則.

由得，由得

∴在[0,1]上遞減，在[1,2]遞增.     …………………………………………11分

為使在[0,2]上恰好有兩個相異的實根，只須在[0,1)和(1,2]上各有一個實根，于是有  解得 .