Question

【題目】已知函數，().

（1）若曲線在處的切線也是曲線的切線，求的值；

（2）記，設是函數的兩個極值點，且.

① 若恒成立，求實數的取值范圍；

② 判斷函數的零點個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②函數有且僅有1個零點，理由見解析

【解析】

(1)根據導數的幾何意義可求得曲線在處的切線方程,再聯立切線與,利用判別式為0解決相切問題即可.

(2) ①易得,再求導根據韋達定理可知極值點滿足,再求解化簡,構造出函數,求導分析函數的單調性,進而求得的最小值即可.

②根據①中的單調性以及極值點可知,且,代入分析可知,再根據零點存在性定理判定,使得即可知有1個零點.

（1）當時,,又,所以,則曲線在處的切線方程為.

由得,因為也是曲線的切線,所以,

解之得.

（2）①因為,所以,

由得,所以 則.

因為,所以解得.

所以

.

設,則,

所以在上單調遞減,當時,,

所以,即所求的取值范圍為.

② 由①知當時,,單調遞增,當時,,單調遞減,當時,,單調遞增.

又,且由①知,

所以,

又,所以,,則,

所以當時,,單調遞減,

所以當時,,則當時,沒有零點.

因為,,,

又在上單調遞增,且圖像連續不間斷,所以,使得.

綜上所述,函數有且僅有1個零點.