Question

【題目】已知函數．

若函數，求在上的最小值；

Ⅱ記函數，若函數在上有兩個零點，，求實數a的取值范圍，并證明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見證明

【解析】

Ⅰ求得的對稱軸，討論當，當，當，結合偶函數的性質和單調性，可得所求最小值；

Ⅱ令，，函數在上有兩個零點，等價于在上有兩個零點，，分類討論，結合的單調性和韋達定理，可得所求a的范圍；運用分析法證明即證，運用的解析式即可得證．

Ⅰ函數的對稱軸為，

當，即時，

在上遞減，在上遞增，

所以；

當，即時，

在上遞減，在上遞增，在上遞減，在上遞增，

所以；

當，即時，

在上遞增，在上遞減，

所以．

綜上所述，；

Ⅱ令，，

函數在上有兩個零點，等價于

在上有兩個零點，，

不妨設，

因為，

所以在上是單調函數，

所以在上至多只有一個解，

當時，，不符合題意；

當時，由得；

由，得，

綜上，當時，函數在上有兩個零點，．

要證，即證，

當時，，得，

因為，所以，

即．