Question

（（本小題滿分12分）
在邊長為5的菱形ABCD中，AC=8。現沿對角線BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值為
（I）求證：平面ABD⊥平面CBD；
（II）若M是AB的中點，求折起后AC與平面MCD所成角的一個三角函數值.

Answer 1

（Ⅰ）證明：菱形中，記交點為, ，     
翻折后變成三棱椎，在△中，


=
在△中，，
∴∠=90°，即⊥，又⊥，∩=，
∴⊥平面, ………………………4分
又平面,∴平面⊥平面．    
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知,,兩兩互相垂直，分別以,, 所在直線為坐標軸建系，
則 (0,0,4)，(0,-3,0)，(4,0,0) ，(0,3,0) ，(0,-,2)，
,，…………………………………8分
設平面的一個法向量為，則由
 ，得 ，…10分 令y=4，有 ……10分
設與平面所成角為θ,

∴與平面所成角的正弦值為， …………………………………12分

略