Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側面為矩形，，，為棱的中點，與交于點，側面，為的中點.

（1）證明：平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】試題分析：（1）取中點為，連接，，，可證明四邊形為平行四邊形，進而得到線面平行；（2）建立坐標系得到直線的方向向量和面的法向量，由向量的夾角公式得到要求的線面角.

解析：

（1）取中點為，連接，，，

由，，，，

得，且，

所以四邊形為平行四邊形.

所以，

又因為平面，平面，所以平面.

（2）由已知.

又平面，

所以，，兩兩垂直.

以為坐標原點，，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則經計算得，，，，

因為，

所以，

所以，，

.

設平面 一個法向量為，

由

令，得.

設直線與平面所成的角為，

則.