Question

如圖,過點B(0,-b)作橢圓=1(a>b>0)的弦,求這些弦長的最大值.

Answer 1

|BM|的最大值為2b.

設M(x,y)是橢圓上任一點.
|BM|²=x²+(y+b)²=x²+y²+2by+b²,由=1,有x²=(b²-y²).
將其代入上式,整理,然后配方有
|BM|²=(1-)y²+2by+(a²+b²)
=(1-)·(y-)²+.
∵-b≤y≤b,
(1)當b≤c(即b≤a)時,≤b,
∴y=時,|BM|的最大值為;
(2)當b>c(即b>a)時,>b,故y=b時,點M在(0,b),即y軸上之頂點位置,|BM|²的最大值為(1-)(b-)²+=4b².
∴|BM|的最大值為2b.